H10/6 Ortvay feladat megoldása egy speciális esetre

Plot[-(1-x^2)^(1/2),{x,-1,0},AspectRatio->1,Axes->False]

Ívhossz paraméterezés:

(*Maximális út:*)
sM=φ0 R;
(*Szög értéke az ívhossz függvényében:*)
α[s_]:=φ0-s/R
(*-Δα:*)
Δα[s_]:=α[0]-α[s]

(*x, z változók:*)
Clear[z,x]
z[s_]:=R(1-Cos[α[s]])
x[s_]:=R(Sin[α[s]])

Δz[s_]:=z[s]-z[0]
Δx[s_]:=x[s]-x[0]

“Korrekciós tag”:

Integrál alatti rész:

Ko=(Δz[s]-μ Δx[s]) Exp[2 μ Δα[s]]1/R//Simplify

Kiintegrálva:

4 μ g((∫_0^sM)Ko\[DifferentialD]s)//FullSimplify

Órán kihozott képletbe ezt betéve:

Exp[-μ φ0](v0^2+2 g R (1-Cos[φ0]-μ Sin[φ0])Exp[ 2 μ φ0]-(1/(1+4 (μ^2)))2 g R (-Cos[φ0]+2 (μ^2) Cos[φ0]-3 μ Sin[φ0]+(E^(2 μ φ0)) (-6 (μ^2)+(1+4 (μ^2)) (Cos[φ0]+μ Sin[φ0]))))^(1/2)//TraditionalForm

Egy manipulálható ábrán ábrázolva az igazi és a két aszimptotikus megoldást:

Manipulate[Plot[{
Exp[-μ φ0](v0^2+2 g R (1-Cos[φ0]-μ Sin[φ0])Exp[ 2 μ φ0]-(1/(1+4 (μ^2)))2 g R (-Cos[φ0]+2 (μ^2) Cos[φ0]-3 μ Sin[φ0]+(E^(2 μ φ0)) (-6 (μ^2)+(1+4 (μ^2)) (Cos[φ0]+μ Sin[φ0]))))^(1/2)/.R->1,
Exp[- μ φ0] v0,
(2 g (1-Cos[φ0]-μ Sin[φ0]))^(1/2)
},{φ0,0,Pi/2},PlotRange->All,PlotLegends->{"Egzakt","(Subscript[v, 0])->∞","'(Subscript[v, 0])->0'"}],{μ,0,1},{{g,10},0,20},{v0,0,10}]

Kis súrlódás melletti sorfejtés:

Series[Exp[-μ φ0](v0^2+2 g R (1-Cos[φ0]-μ Sin[φ0])Exp[ 2 μ φ0]-(1/(1+4 (μ^2)))2 g R (-Cos[φ0]+2 (μ^2) Cos[φ0]-3 μ Sin[φ0]+(E^(2 μ φ0)) (-6 (μ^2)+(1+4 (μ^2)) (Cos[φ0]+μ Sin[φ0]))))^(1/2),{μ,0,1}]//Simplify